Способ (с помощью второй производной)

Найдём вторую производную:

;

Найдём значение 2-ой производной в критичных точках.

.

.

Означает, прибыль в точке наибольшая.

Найдём значение наибольшей прибыли:

3.9.Требуется сделать коническую воронку с образующей, равной 15 см. Какова должна быть высота воронки, чтоб её объём был большим?

n Пусть , тогда:

.

Объём:

.

;

Найдём критичные точки функции:

;

;

;

.

Получили, чтоб объём воронки с Способ (с помощью второй производной) образующей 15 см был большим, высота её должна быть равной см. ƒ

Неровность функции и точки перегиба.

Достаточные условия неровности.

Пусть существует на отрезке , а — на интервале . Тогда:

1) если

при всех ,

то функция выпукла вниз на отрезке .

2) если

при всех ,

то функция выпукла ввысь на отрезке .

Нужное условие наличия точки перегиба.

Если — точка перегиба Способ (с помощью второй производной) функции и если функция имеет в некой округи точки вторую производную, непрерывную в точке , то

.

Достаточные условия наличия точки перегиба.

1) Если функция непрерывна в точке , имеет в этой точке конечную либо нескончаемую производную и если функция меняет символ при переходе через точку , то — точка перегиба функции .

2) Если , , то — точка перегиба Способ (с помощью второй производной) функции .

Примеры

4.1.Показать, что функции выпукла ввысь на всей области определения.

n Вычислим вторую производную

.

Область определения функции

огромное количество . Разумеется, для всех .ƒ

4.2.Отыскать точки перегиба полосы , .

n Вычислим вторую производную параметрически данной функции оп формуле

.

Потому что , , , , получаем

.

Разобьем ось точками , , на три интервала. На каждом из этих интервалов 2-ая производная сохраняет Способ (с помощью второй производной) символ. Составим таблицу значений , и знака на соответственных интервалах.

От до

Таким макаром, точками перегиба будут и .ƒ

4.3. Отыскать точки перегиба и интервалы неровности функции

n Вычисляя производные

, .

Составим таблицу всепостоянства символов 2-ой производной.

Выпукла вниз
Точка перегиба
Выпукла ввысь

Таким макаром, точка - точка перегиба.ƒ

4.4.Отыскать точки перегиба полосы , .

n Способ (с помощью второй производной) Вычислим вторую производную, параметрически данной функции по формуле

.

Потому что , , , , получаем

.

Точки, в каких определяются из уравнения , и несложно убедиться, что в , , 2-ая производная меняет символ, как следует, эти точки – точки перегиба.ƒ

4.5. Показать, что точки перегиба полосы лежат на полосы .

n Точки скрещения линий удовлетворяют уравнению

. (*)

Покажем, что точки перегиба полосы удовлетворяют этому Способ (с помощью второй производной) уравнению. Вычисляя вторую производную и приравнивая ее нулю получаем уравнение

либо , (**)

потому что . Подставляя (**) в (*) получаем тождество

Асимптоты.

Вертикальная асимптота.

Если выполнено хотя бы одно из критерий

, ,

то прямую именуют вертикальной асимптотой графика функции .

Невертикальная асимптота.

Прямую

именуют невертикальной асимптотой графика функции при , если

.

Если , то асимптоту именуют наклонной, а если , то асимптоту именуют горизонтальной Способ (с помощью второй производной).

Аналогично вводится понятие асимптоты при .

Для того чтоб ровная была асимптотой графика функции при , нужно и довольно, чтоб существовали конечные пределы

,

.

Аналогично находится асимптота при .

Исследование асимптот при и при обычно проводят раздельно.

В неких личных случаях может быть совместное исследование асимптот при и при , к примеру, для

1) оптимальных функций;

2) четных Способ (с помощью второй производной) и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Необходимо подчеркнуть, что способ вычисления пределов для нахождения асимптот не позволяет оценить обоюдное размещение графика функции и его асимптоты. Для определения обоюдного положения графика и асимптоты можно воспользоваться последующими правилами.

1) Если функция имеет асимптоту Способ (с помощью второй производной) при , дифференцируема и строго выпукла вниз на луче , то график функции лежит выше асимптоты.

2) Если функция имеет асимптоту при , дифференцируема и строго выпукла ввысь на луче , то график функции лежит ниже асимптоты.

3) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. К примеру, может быть, что, график функции нескончаемое Способ (с помощью второй производной) число раз пересекает асимптоту.

Аналогичное утверждение справедливо и при .

До исследования параметров неровности графика функции обоюдное расположения графика функции и его асимптоты можно найти по знаку в способе выделения главной части.

Способ выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при . Аналогично при .

Главную часть дробно рациональной функции Способ (с помощью второй производной) комфортно отыскивать, выделяя целую часть дроби.

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров комфортно отыскивать используя способы представления функции формулой Тейлора при .

Главную часть иррациональных функций вида и комфортно отыскивать соответственно способом выделения полного квадрата либо полного куба подкоренного выражения.

Примеры

5.1. Отыскать асимптоты графика функции

.

n Ровная — вертикальная асимптота.

Наклонная Способ (с помощью второй производной) асимптота. Найдем угловой коэффициент и свободный член по формулам

,

Таким макаром, ровная — наклонная асимптота.

Найдем асимптоту способом выделения главной части дробно-рациональной функции. Выполняя деление «столбиком», получаем

Другими словами, .

Таким макаром, ровная — наклонная асимптота.ƒ

5.2.Отыскать асимптоты полосы: .

n Вертикальных и горизонтальных асимптот нет.

Выражая уравнение полосы в очевидном виде : .

Тогда

,

.

В конечном Способ (с помощью второй производной) итоге имеем 2 наклонных асимптоты: .ƒ

5.3. Отыскать асимптоты полосы: .

n Выразим уравнение полосы в очевидном виде: .

Потому что ,

то ровная - наклонная асимптота.ƒ

5.4.Отыскать асимптоты функции:

nТак как функция не определена в точках = 1, то - вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:

; .

.

Получили: - наклонная асимптота. ƒ

5.5.Отыскать Способ (с помощью второй производной) наклонную асимптоту графика функции .

n Потому что

,

то по формуле Тейлора получаем

и ровная является разыскиваемой асимптотой. ◄

5.6.Отыскать наклонные асимптоты графика функции при и .

n В подкоренном выражении выделим полный квадрат

.

Потому что график функции симметричен относительно прямой и

то при . Означает, ровная является асимптотой при , а ровная — асимптотой при . ◄


sposobi-aktivizacii-mishleniya-razvitie-visshih-psihicheskih-processov-6.html
sposobi-atomizacii-i-vozbuzhdeniya-spektrov-atomnoj-emissii-ae-analizatori-i-detektori-ae-spektrov.html
sposobi-bureniya-burovoj-instrument.html